Topologia e conjuntos em exercícios

Seja $\alpha \in \lambda$ qualquer, se $(s, F) \in \mathcal G \cap D_\alpha$, vamos ver que $\{n \in \omega: f_\alpha(n) > f(n)\} \subset dom(s)$.

Dado $m \in \{n \in \omega: f_\alpha(n) > f(n)\}$ arbitrário. Temos que $f_\alpha(m) > f(m)$. Ademais, $(m,f(m))\in f$, logo existe $(t,H)\in \mathcal G$ tal que $(m,f(m))\in t$. Também $(s, F) \in \mathcal G$. Como $\mathcal G$ é filtro, existe $(r,E)\in \mathcal G$ tal que $(r,E)\leq (t,H)$ e $(r,E)\leq (s,F)$. Daqui, $$r \supset s, E \supset F, \ \forall \beta \in F \ \forall n \in dom(r) \smallsetminus dom(s) \ (r(n) > f_\beta(n))$$ Além disto, $(s,F)\in D_\alpha$ então $\alpha \in F$. Além disso, $(r,E)\leq (t,H)$ implica $r \supset t$. Como $(m,f(m))\in t \subset r$ então $m \in dom(r)$ e $r(m)=f(m)$. Daí, $f_\alpha(m) > f(m)=r(m)$ implica $m \in dom(s)$.