Topologia e conjuntos em exercícios

Seja $a + bz \in S(a,b)$. Note que $\{(a + bz) + bz: z \in \mathbb{Z}\} = \{a + 2bz: z \in \mathbb{Z}\} \subset S(a,b)$, portanto $S(a,b) \in \tau$.

Para mostrarmos que $S(a,b)$ é fechado, tome $c \in \mathbb{Z}$ tal que $c \neq a + bz$ $\forall z \in \mathbb{Z}$. Daí temos que $\{c + bz: z \in \mathbb{Z}\} \subset \mathbb{Z} \setminus S(a,b)$, pois caso contrário teríamos $c + bz_1 \in S(a,b)$, o que nos daria $c = a + b(z_2 - z_1)$, contrariando a definição de $c$. Portanto $\mathbb{Z} \setminus S(a,b) \in \tau$, isto é, $S(a,b)$ é fechado.