Topologia e conjuntos em exercícios

Considere para cada $n \in \omega$ $ \varphi_n : A_ n \times A \to A_n \cup A_{n+1}$ sobrejetora dada pelo exercício anterior.

Tome $ n = 1 $, então $ \varphi_1 : A_ 1 \times A \to A_1 \cup A_{2}$ é sobrejetora. Note que $A_ 1 = \{ \{a_n\} : a_n \in A, n \in \omega \}$ é enumerável, logo $A_1 \times A$ é enumerável. Como $\varphi_1$ é sobrejetora $A_1 \cup A_2$ é enumerável, como $A_2 \subset A_1 \cup A_2$ então $A_2$ é enumerável.

Por indução, vamos mostrar que se $A_k$ enumerável, então $A_{k+1}$ é enumerável.

$A_k$ e $A$ são enumeráveis, então $A_k \times A$ é enumerável. Temos $\varphi_k: A_k \times A \to A_k \cup A_{k +1}$ sobrejetora, como $A_k \times A$ é enumerável então $A_k \cup A_{k+1}$ é enumerável. Note que $A_{k+1} \subset A_k \cup A_{k+1} $, portanto $A_{k+1}$ é enumerável.