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Seja $a_0 \in X$. Seja $c_0 > a_0$, que existe pois $X$ não possui máximo. Pela densidade da ordem, existe $b_0 \in X$ tal que $b_0 \in ]a_0,c_0[$, portanto $a_0 < b_0 < c_0$. Novamente, como $X$ não possui um elemento máximo, existe $a_1, c_1 \in X$ tais que $c_1 > a_1 > c_0$, e pela densidade da ordem existe $b_1 \in ]a_1, c_1[$. Note que $b_0 \notin ]a_1,c_1[$. Vamos construir por indução 3 sequências $(a_{\xi})_{\xi \in \omega_1}$, $(b_{\xi})_{\xi \in \omega_1}$ e $(c_{\xi})_{\xi \in \omega_1}$.
Suponham definidas as sequências para todo $\xi < \eta$. Como não existe elemento máximo em $X$, segue que existem $c_{\eta}$, $a_{\eta} \in X$ tais que $c_{\eta} > a_{\eta} > c_{\xi} > a_{\xi}$. Temos que $\bigcup_{\xi < \eta} ]a_{\xi}, c_{\xi}[$ é um aberto enumerável de $X$. Pela não separabilidade de $X$, existe $A \subset X$ aberto disjunto de $\bigcup_{\xi < \eta} ]a_{\xi}, c_{\xi}[$, tal que $]a_{\eta},c_{\eta}[ \subset A$. Tome $b_{\eta} \in ]a_{\eta},c_{\eta}[$. Note que $]a_{\eta}, c_{\eta}[ \cap \{b_{\xi}: \xi < \eta\} = \emptyset$ e $a_{\eta} < b_{\eta} < c_{\eta}$, como queríamos.
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