Topologia e conjuntos em exercícios

Já temos que $ H(\omega) \subset V_\omega $.

Note que se $ V_{n} $ tem cardinalidade $ k_{n}<\omega $, $ V_{n+1} $ tem cardinalidade $ 2^{k_{n}} < \omega $.

Se $ x \subset V_{n} $, $ tr(x) \subset \bigcup_{k = 0}^{n}V_{n} $, mas este último é finito, logo $ |tr(x)|<\omega $, logo $ x \in H(\omega) $.

Temos então $ V_\omega \subset H(\omega) $, provando o que queríamos.