Topologia e conjuntos em exercícios

Suponha que $X$ é $T_1$ e fixe $x\in X$. Como os espaço é $T_1$, para todo $y\in X$ diferente de $x$, conseguimos um aberto $U_y$ tal que $x \not\in U_y$. Mas então, temos que $y\not\in \overline{\{x\}}$. Como isso vale para todo elemento $y$ diferente de $x$, temos que $\overline{\{x\}}=\{x\}$, ou seja, $\{x\}$ é fechado.

Reciprocamente, se $\{x\}$ é fechado para todo $x\in X$, então $X \backslash \{x\}$ é um aberto que separa $x$ de qualquer elemento $y\in X$ diferente de $x$. Logo o espaço é $T_1$.