Topologia e conjuntos em exercícios

$ \phi $ é da forma $ \exists x\in t \psi $, com o teorema verdadeiro para $ \psi $.

Suponha $ \mathcal{M} \models \phi [\alpha] $ então existe $ a \in M $ com

\[ \mathcal{M} \models x \in t \land \psi [\alpha^{x}_{a}] \implies \mathcal{M} \models x \in t [\alpha^{x}_{a}] \implies a \overset{\text{meta}}{\in} \alpha(t) \overset{\text{meta}}{\in} N \]

mas $ N $ é transitivo, então $ a \overset{\text{meta}}{\in} N $. Como também temos $ \mathcal{M} \models \psi[\alpha^{x}_{a}] $, da indução sobre a complexidade de $ \phi $, temos que $ \mathcal{N} \models \psi[\alpha^{x}_{a}] $. Logo então $ \mathcal{N} \models ( x \in t)[\alpha^{x}_{a}] \land \mathcal{N} \models \psi[\alpha^{x}_{a}] \implies \mathcal{N} \models \exists x ((x\in t) \land \psi) \implies \mathcal{N} \models \phi $.

Análogo para a volta.