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Integrais impróprias II
Um erro comum é o seguinte: $\int_{-1}^1 \frac{1}{x^2}dx = (-\frac{1}{x})|_{-1}^1 = -2$. Qual é o erro?
Por enquanto, só trabalhamos com integrais de funções limitadas (pois contínuas num intervalo fechado). Mas ainda assim podemos tentar calcular em pontos de ilimitação:
Seja $f: [a, b[ \to \mathbb R$ contínua. Se $f$ é integrável em $[a, c]$ para todo $c$ tal que $a < c < b$, então definimos \[\int_a^b f(x) dx = \lim\limits_{t \to b^-} \int_a^t f(x) dx\] se tal limite existir. A definição é análoga para $]a, b]$.
Exemplo Considere $f(x) = \frac{1}{x}$. Temos $\int_0^1 \frac{1}{x}dx = \lim\limits_{t \to 0^+} \int_t^1 \frac{1}{x}dx = \lim\limits_{t \to 0^+} (\ln 1 - \ln t) = +\infty$.
Exemplo Considere $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$. Temos que $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}dx = \lim\limits_{t \to 0^+} \int_t^1 x^{-\frac{1}{2}} dx = \lim\limits_{t \to 0^+} (\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}})|_t^1 = \lim\limits_{t \to 0^+} \frac{1}{2} (1 - t^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2}$.
1 Para $p > 0$, determine $\int_1^{+ \infty} \frac{1}{x^p} dx$. Atenção, você vai ter que quebrar em alguns casos. Olhe aqui para se inspirar.
Definimos $\int_{-\infty}^{\infty}f(x) dx$ se, para qualquer $a \in \mathbb R$, temos que $\int_{-\infty}^a f(x)dx$ e $\int_a^{+\infty}f(x) dx$ forem convergentes. Neste caso \[\int_{-\infty}^{\infty}f(x) dx = \int_{-\infty}^a f(x)dx + \int_a^{+\infty}f(x) dx\]
Cuidado, a definição anterior não é o limite de $\int_{-t}^t f(x)dx$.
Exemplo Primeiramente, vamos calcular $\int_a^b xe^{-x}dx$. Fazendo por partes, chamando $u(x) = x$ e $v'(x) = e^{-x}$ e, portanto, $u'(x) = 1$ e $v(x) = -e^{-x}$, temos \[\int_a^b xe^{-x}dx = (-xe^{-x})|_a^b - \int_a^b(-e^{-x})dx = (-xe^{-x} - e^{-x})|_a^b.\] Assim \[\begin{array}{rcl} \int_0^{+\infty} xe^{-x}dx & = & \lim\limits_{t \to +\infty}(-x e^{-x} - e^{-x})|_0^t\\ & = & \lim\limits_{t \to +\infty} -te^{-t} - e^{-t} + 1\\ & = & 1 \end{array}\]
Exemplo Com $n > 1$, temos que (novamente por partes) \[\int_0^{+\infty} x^n e^{-x}dx = \lim\limits_{t \to + \infty}(-x^n e^{-x})|_0^t + n \lim\limits_{t \to +\infty}\int_0^{+\infty} x^{n - 1}e^{-x}dx\] Por indução segue que $\int_0^{+\infty} x^n e^{-x}dx = n!$.
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