Topologia e conjuntos em exercícios

Suponha que não. Note que então existe $A\subset \mathbb P_i$ anticadeia não enumerável de elementos dois a dois disjuntos.

Tome $E\subset A$ enumerável infinito e note que $E\in M_\xi$ para algum $\xi<\omega_1$.

Tome $X\in A$ tal que $\min X > \sup E$ e escreva $X=\{\alpha_0, \dotsc, \alpha_{n-1}\}$, com $\alpha_i<\alpha_{i+1}$.

Defina $E_0= E$ e, para cada $k<n-1$, defina: \[E_{k+1}=\{Y\in E_k: \forall\beta\in Y, f(\{\beta, \alpha_k\})=i\}.\]

Mostre que cada $E_k$ é infinito e, por fim, que qualquer $Y\in E_n$ é compatível com $X$, uma contradição.