Começamos com um teorema um tanto útil:

Teorema (Cauchy) Se $f, g$ são contínuas em $[a, b]$ e diferenciáveis em $]a, b[$, então existe $c \in ]a, b[$ tal que \[(f(b) - f(a))g'(c) = (g(b) - g(a))f'(c)\]

Dem.: Defina $r(x) = (f(b) - f(a))g(x) - (g(b) - g(a))f(x)$. Note que $r$ é diferenciável em $]a, b[$. Note também que \[\begin{array}{rcl} r(a) & = & (f(b) - f(a))g(a) - (g(b) - g(a))f(a)\\ & = & f(b)g(a) - f(a)g(a) - g(b)f(a) + g(a)f(a)\\ & = & f(b)g(a) - g(b)f(a)\\ & = & f(b)g(a) - g(b)f(a) - f(b)g(b) + f(b)g(b)\\ & = & (f(b) - f(a))g(b) - (g(a) - g(b))f(b)\\ & = & r(b)\\ \end{array} \] Assim, existe $c \in ]a, b[$ tal que $r'(c) = 0$. Daí segue o resultado.$\square$

Note que o teorema de Cauchy generaliza o teorema do valor médio: basta fazer $g(x) = x$. Assim, $g'(x) = 1$ e, de

\[(f(b) - f(a))g'(c) = (g(b) - g(a))f'(c),\]

obtemos

\[(f(b) - f(a)) = (b - a)f'(c).\]

Teorema (L'Hôpital) Sejam $f$ e $g$ contínuas em $[a, b]$, diferenciáveis em $]a, b[$ e com $g'(x) \neq 0$ para todo $x \neq a$. Se $f(a) = 0$, $g(a) = 0$ e \[\lim\limits_{x \to a^+} \frac{f'(x)}{g'(x)} = k\] então \[\lim\limits_{x \to a^+} \frac{f(x)}{g(x)} = k\]

Além disso, vale o análogo para $b$.

Dem.: Para todo $x \in ]a, b[$, o teorema de Cauchy diz que existe $s$ com $a < s < x$ tal que \[\frac{f(x) - f(a)}{g(x) - g(a)} = \frac{f'(s)}{g'(s)}\] logo \[\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(s)}{g'(s)}.\] Note que $s \to a^+$ quando $x \to a^+$. Assim \[\lim\limits_{x \to a^+} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim\limits_{s \to a^+} \frac{f'(s)}{g'(s)} = k.\]$\square$

Corolário Sejam $f$ e $g$ diferenciáveis em $I$ aberto contendo $a$ e com $g'(x) \neq 0$ para todo $x \neq a$. Se $f(a) = 0$, $g(a) = 0$ e \[\frac{\lim\limits_{x \to a} f'(x)}{\lim\limits_{x \to a} g'(x)} = k\] então \[\frac{\lim\limits_{x \to a} f(x)}{\lim\limits_{x \to a} g(x)} = k.\]

Corolário Vale o resultado anterior mesmo no caso em que $a = +\infty$.

Dem.:

\[\begin{array}{rcl} \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{g(x)} & = & \lim\limits_{a \to 0^+}\frac{f(\frac{1}{a})}{g(\frac{1}{a})}\\ & = & \lim\limits_{a \to 0^+}\frac{-f'(a^{-1})a^{-2}}{-g'(a^{-1})a^{-2}}\\ & = & \lim\limits_{a \to 0^+}\frac{f'(a^{-1})}{g'(a^{-1})}\\ & = & \lim\limits_{x \to +\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)} \end{array}\]

Exemplo $\lim\limits_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim\limits_{x \to 1} \frac{2x}{1} = 2$.

Exemplo $\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^3 - 2x^2 - 4x + 8}{x^2 - 4} = \lim\limits_{x \to 2} \frac{3x^2 - 4x - 4}{2x} = \frac{12 - 8 - 4}{4} = 0$.

Exemplo $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sen(x)}{x} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{\cos(x)}{1} = 1$.

Exemplo \[\begin{array}{rcl} \lim\limits_{x \to 0} \frac{\cos(x) + 2x^2 - 1}{3x^2} & \stackrel{\heartsuit}{=} & \lim\limits_{x \to 0} \frac{-\sen(x) + 4x}{6x} \\ & \stackrel{\heartsuit}{=} & \lim\limits_{x \to 0} \frac{-\cos(x) + 4}{6}\\ & = & \frac{1}{2} \end{array}\]