Topologia e conjuntos em exercícios

Seja $A$ uma álgebra de Boole, dados $a,b \in A$ tais que $a \leq b$, vamos mostrar que $-b \leq a$.

Vamos supor que $-b \nleq a$.

Isso ocorre se, e somente se $(-b) - (-a) \neq 0$.

$(-b) - (-a) \neq 0$

$(-b)(-(-a)) \neq 0$

$(-b)a \neq 0$.

Mas $a \leq b$, logo $a = ab$.

Multiplicando ambos os lados da igualdade por $(-b)$ temos:

$a(-b) = ab(-b)$

$a(-b) = 0.

Chegamos em uma contradição, portanto, $-b \leq -a$.