Topologia e conjuntos em exercícios

* Dê um exemplo de uma função contínua, limitada inferiormente mas que não tenha ponto de mínimo. * Considere $f$ e $g$ diferenciáveis, $f$ estritamente crescente, $g$ estritamente decrescente. Mostre que $f \circ g$ é estritamente decrescente calculando a sua derivada. * Considere $f: \mathbb [a, b] \to \mathbb R$ contínua e crescente. Exiba um maximizador e um minimizador de $f$.

* Considere $f: \mathbb [a, b] \to \mathbb R$ contínua e sabendo que $f'$ é contínua. Seja $c$ tal que $a < c < b$ o único ponto tal que $f'(c) = 0$.

• Suponha que $c$ seja um máximo local. O que sabemos sobre o sinal de $f'$ nos outros pontos?
• Ainda no caso em que $c$ seja um máximo local, quais pontos podem ser minimizadores de $f$?
• Refaça os itens anteriores, supondo agora que $c$ seja um mínimo local (e daí a pergunta anterior fica sendo sobre maximizadores).