Topologia e conjuntos em exercícios

Aula de 05/04

Considere $f: \mathbb R \to \mathbb R$ e $g: \mathbb R \to \mathbb R$ tais que, para todo $x \in \mathbb R$, $f(x) \leq g(x)$. Suponha que dado $a \in \mathbb R$, temos que $\lim\limits_{x \to a} f(x)$ e $\lim\limits_{x \to a} g(x)$ existam.
- Mostre que $\lim\limits_{x \to a} f(x) \leq \lim\limits_{x \to a} g(x)$.
- Troque alguns itens por $+\infty$ (por exemplo, $a$ ou o valor de algum dos limites). Quais afirmações como a original continuam valendo?
- No enunciado original, se exigirmos $f(x) < g(x)$ para todo $x \in \mathbb R$, podemos concluir que $\lim\limits_{x \to a} f(x) < \lim\limits_{x \to a} g(x)$?

Calcule $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{\sin(x) + \cos(x)}{x^3}$.
Considere a função $f: \mathbb R \to \mathbb R$ dada por $f(x) = (x + k)\cos(x)$ se $x \leq 0$ e $f(x) = \frac{\sin(x)}{x} - k\cos(x)$ se $x > 0$. Para quais valores de $k$ tal função é contínua?