Topologia e conjuntos em exercícios

Considere $f: \mathbb R \to \mathbb R$ dada por $f(x) = 0$ se $x$ racional e $f(x) = 1$ se $x$ irracional. Qual é o $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)$?

Se $f: \mathbb R \to \mathbb R$ é uma função ímpar tal que $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = -7$, o que podemos dizer sobre $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)$?

Dada $f: \mathbb R \to \mathbb R$ tal que $\lim\limits_{x \to +\infty} xf(x) = 4$, quanto vale $\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)$? (suponha que tal limite existe)

Considere $g: \mathbb R \to \mathbb R$ tal que $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x) = +\infty$. Mostre pela definição que $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{1}{g(x)} = 0$.

Use o item anterior para concluir que, se $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = k$ (com $k \in \mathbb R$) e $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x) = \infty$, então $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = 0$.