Topologia e conjuntos em exercícios

Aula de 01/03

Exiba uma bijeção entre $\mathbb N$ e $\mathbb N_{\neq 0}$. Prove que ela é de fato bijetora.
Dado $z \in \mathbb Z$, construa uma bijeção entre $\mathbb Z$ e $\mathbb Z_{\neq z}$.
Dados $a, b \in \mathbb Q$ distintos, construa uma bijeção entre $\mathbb Q$ e $\mathbb Q \setminus \{a, b\}$ (esse último conjunto é $\{q \in \mathbb Q: q \neq a, q \neq b\}$).
Considere $f: \mathbb N \times \mathbb N \to \mathbb N$ dada por $f(a, b) = 2^a 3^b$. Essa função é injetora? E sobrejetora?

Considere $f: \mathbb R \to \mathbb R$ uma função qualquer.
- Mostre que $f_p(x) = f(x) + f(-x)$ é uma função par.
- Mostre que $f_i(x) = f(x) - f(-x)$ é uma função ímpar.
- Mostre que toda função é soma de uma função par com uma função ímpar.

Se $I$ e $J$ são intervalos, é verdade que necessariamente $I \cup J$ é um intervalo? E no caso em que $I \cap J \neq \emptyset$?
$\mathbb Q$ é um intervalo?
Se $I$ é um intervalo não vazio, pode acontecer que $\mathbb R \setminus I$ também seja um intervalo?