Topologia e conjuntos em exercícios

Aula de 27/02

Joãozinho é mais baixo do que Mariazinha. Ambos estão crescendo, sendo que a diferença de altura entre eles está cada vez menor. Quem tem “velocidade” de crescimento maior? Só com esses dados (e supondo que a situação não se altere), é possível dizer que em algum momento Joãozinho vai ficar mais alto que Mariazinha?
Seja $z \in \mathbb Z$. Mostre que se $z^2$ é divisível por $3$, então $z$ também é.
Mostre que $\sqrt{3}$ não é racional.
Dado $p$ primo, mostre que $\sqrt{p}$ não é racional.

Os exercícios abaixo não são essenciais para o curso. Mas valem o dobro de XP.

A partir da soma e da multiplicação dos naturais, podemos definir a subtração $a - b$ como (caso exista) $c$ tal que $b + c = a$. Mostre que existe, no máximo, um $c$ com tal propriedades (só use as propriedades da soma e da multiplicação apresentadas em sala).
Considere $f: \mathbb Q \to \mathbb Q$ com as seguintes propriedades: $f(a + b) = f(a) + f(b)$ e $f(\lambda a) = \lambda f(a)$ para todo $a, b, \lambda \in \mathbb Q$.
- Defina $k = f(1)$. Mostre que $f(2) = 2k$.
- Mostre que para todo $n$, $f(n) = nk$.
- Mostre que $f(q) = kq$ para todo $q \in \mathbb Q$.