Desigualdades com módulos

Exemplo Decida para quais valores de $x$ vale a desigualdade: $$|2x + 1| + |x - 1| < 3$$

Vamos dividir em casos. Note que o comportamento do que está dentro dos módulos muda em $x = -\frac{1}{2}$ e $x = 1$.

• $x < -\frac{1}{2}$: a desigualdade fica equivalente a $-2x - 1 + (-x + 1) < 3$. Simplificando, $-3x < 3$, isto é, $x > -1$. Assim, para esse caso, vale qualquer $x \in ]-1, -\frac{1}{2}[$.
• $-\frac{1}{2} \leq x < 1$: a desigualdade fica equivalente a $2x + 1 + (-x + 1) < 3$. Simplificando. $x < 1$. Assim, neste caso vale para qualquer $x \in [\frac{1}{2}, 1[$.
• $x \geq 1$: a desigualdade fica equivalente a $2x + 1 + x - 1 < 3$. Simplificando, $3x < 3$, ou seja, $x < 1$. Como estamos no caso em que $x \geq 1$, não temos solução para esse caso.

Juntando todas as soluções, temos que a desigualdade vale para $x \in ]-1, 1[$.

Exemplo Decida para quais valores de $x$ vale a desigualdade $$|x - 2| < |x + 5|$$

Vamos analisar como o que está dentro dos módulos se comporta. Note que o comportamento muda em $x - 2 = 0$ e $x + 5 = 0$. Ou seja, em $x = 2$ e $x = -5$. Assim, podemos dividir em $3$ casos:

• $x < -5$: Neste caso temos que $x - 2 < 0$ e $x + 5 < 0$, assim, a desigualdade é equivalente a

$$2 - x < -x - 5$$ Ou seja, $2 < -5$, que é falso (não importa o valor de $x$). Assim, não existem soluções para esse caso.

• $-5 \leq x < 2$: Neste caso, a desigualdade é equivalente a

$$2 - x < x + 5$$ Ou seja, $-2x < 3$. Isto é, $x > -\frac{3}{2}$. Ou seja, neste caso temos que a solução é $x \in ]-\frac{3}{2}, 2[$ (note que temos que deixar o intervalo dentro do caso sendo estudado

• $x \geq 2$: Neste caso, a desigualdade é equivalente a

$$x - 2 < x + 5$$ Ou seja, $0 < 3$, que é verdadeira (não importando o valor de $x$). Ou seja, qualquer valor deste caso serve: $x \in [2, + \infty[$.

Analisando todos os casos, temos que a desigualdade é satisfeita se $x \in ]-\frac{3}{2}, +\infty[$.

Exemplo Decida para quais valores de $x$ vale a desigualdade $$\frac{|1 - x|}{|2x + 2|} < 5$$ Primeiramente, note que tal desigualdade é equivalente a $$\frac{|x - 1|}{|2x + 2|} < 5$$ Assim, os casos vão ser dados por $x = 1$ e $x = -1$. E atenção que o caso $x = -1$ precisa ser excluído, não importa o que acontecer no estudo dos casos.

• $x < -1$: Temos $\frac{1 - x}{-2x -2} < 5$. Ou seja, $1 - x < -10x - 10$. Simplificando, $9x < -11$. Assim, $x < -\frac{11}{9}$. Desta forma, vale para $x \in ]-\infty, -\frac{11}{9}[$.
• $-1 < x < 1$: Temos $\frac{1 - x}{2x + 2} < 5$. Ou seja, $1 - x < 10x + 10$. Simplificando, $-11x < 9$. Assim, $x > -\frac{9}{11}$. Desta forma, vale para $x \in ]-\frac{9}{11}, 1[$.
• $x \geq 1$: Temos $\frac{x - 1}{2x + 2} < 5$. Ou seja, $x - 1 < 10x + 10$. Simplificando, $-9x < 11$. Assim, $x > -\frac{11}{9}$. Desta forma, vale para $x \in [1, +\infty[$.

Juntando os casos, temos que a desigualdade vale para $x \in ]-\infty,-\frac{11}{9}[ \cup ]-\frac{9}{11}, + \infty[$.

Exercícios