Sejam $(a_\xi)_{\xi \in \omega_1}$, $(b_\xi)_{\xi \in \omega_1}$ e $(c_\xi)_{\xi \omega_1}$ sequências de $X$ definidas como nos exercícios anteriores. Seja $\mathcal {F} = \{]a_\xi, b_\xi[ \times ]b_\xi, c_\xi[: \xi \in \omega_1\}$. Mostremos que $\mathcal {F}$ é uma família não enumerável com elementos dois a dois disjuntos:

Pelo exercício anterior, segue que $\mathcal {F}$ é não enumerável. Pelo exercício anterior, se $\xi \neq \eta$, então $]a_\xi, b_\xi[ \cap ]a_\eta, b_\eta[ = \emptyset$ ou $]b_\xi, c_\xi[ \cap ]b_\eta, c_\eta[ = \emptyset$. Note que em ambos os casos $]a_\xi, b_\xi[ \times ]b_\xi, c_\xi[\cap]a_\eta, b_\eta[ \times ]b_\eta, c_\eta[ = \emptyset$.

Portanto $X \times X$ não é c.c.c.