Seja $ \phi $ uma fórmula $ \Delta_{0} $ atômica, então $ \phi $ é do tipo $ x = y $ ou $ x \in y $ pois todo termo é variável. Se $ \mathcal{M} \models x = y [\alpha] $, $ \alpha $ valorada em $ M \cap N $ que, em particular, é transitivo. Mas então $ \mathcal{N} \models x = y [\alpha] $ (valoração toma valores em subconjunto transitivo, então igualdade implica meta-igualdade).

Seja $ \mathcal{M} \models t \in s [\alpha] $, então $ \alpha(t) \overset{\text{meta}}{\in} \alpha(s) $ ambos membros de $ N $, mas então $ \mathcal{N} \models t \in s $.