De fato, dado $\epsilon > 0$, tomemos $k \in \mathbb{N}$ tal que $k + 1 > \frac{2}{\epsilon}$. Nesse sentido, para quaisquer $i,j \geq k$, teremos $a_{n_{i}}, a_{n_{j}} \in B_{\epsilon_k}(a_{n_k}) \cap \{a_n : n > n_k\}$. Assim, temos $d(a_{n_i}, a_{n_j}) \leq d(a_{n_i}, a_{n_k}) + d(a_{n_k}, a_{n_j}) < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon$, confirmando que a sequência dada é de Cauchy.