Queremos mostrar que $\psi( \mathcal{F})$ é localmente compacto. Como $\psi( \mathcal{F})$ é Hausdorff, então basta provar que: para todo $x \in \psi( \mathcal{F})$, $x$ possui uma vizinhança compacta.
De fato, temos dois casos:
Se $x \in \omega$: então $\{x\}$ é uma vizinhança compacta para $x$.
Se $x \in \mathcal {F}$: então, existe $F \in \mathcal F$ tal que $x = F$. Fixe $V = \{F\} \cup (F \setminus A)$ uma vizinhança básica para $F$. Seja $\mathcal{U}$ uma cobertura aberta para $V$. Como $\mathcal{U}$ é cobertura, existe $U \in \mathcal{U}$, tal que $F \in U$. Por definição, existe $B \subset \omega$ finito, tal que:
$$F \in \{F\} \cup (F \setminus B) = U$$
Como $A$ e $B$ são conjuntos finitos, então $A \cup B$ é finito. Note que, agora resta cobrirmos finitos elementos de $V$ e tais elementos estão em $A \cup B$. Então, para todo $x \in A \cup B$ seja $U_x \in \mathcal{U}$, tal que $x \in U_x$. Logo, $\{U\} \cup \{U_x\}_{x \in A \cup B}$ é uma subcobertura finita para $V$.
Portanto, $\psi(\mathcal{F})$ é localmente compacto.
Observação Também podemos demonstrar o item $2$ da seguinte forma: Considere a vizinhança básica $\{F\} \cup F$, aqui tomamos $A = \emptyset$ mesmo. Como $\{F\} \cup F$ é homeomorfo a uma sequência convergênte ($ F=\{x_n : n \in \omega\}$; $x_n \rightarrow x = F$) e sequências convergentes são espaços compactos, temos o resultado.