Seja $(x_i) \in X = \prod_{i \in I}X_i $ e $W$ um aberto de $X$ tal que $(x_i) \in W$. Temos pela definição de topologia gerada que para $(x_i)$ em particular $\exists \,\, \{\pi_{i}^{-1}[A_i] : i \in F'\} \subset \mathcal F$ tal que $ \ (x_i) \in \bigcap_{i \in F'}\pi_{i}^{-1}[A_i] \subset W$, com $A_i \in \tau_i$ e $F' \subset I$ finito.

Sendo $B = \bigcap_{i \in F'}\pi_{i}^{-1}[A_i]$ temos que $B = \prod_{i \in I}A_i$ onde $A_i \neq X \Rightarrow i \in F'$. Dessa forma, temos que $B \in \mathcal B$ (já que há apenas um número finito de $A_i \neq X$) e concluímos que $\mathcal B$ é base.