Seja $(x_i) \in X = \prod_{i \in I}X_i $ e $W$ um aberto de $X$ tal que $(x_i) \in W$. Temos pela definição de topologia gerada que para $(x_i)$ em particular $\exists \,\, \pi_{i}^{-1}[A_i], \cdots, \pi_{n}^{-1}[A_n] \in \mathcal F$ tal que $ \ (x_i) \in \pi_{i}^{-1}[A_i] \cap \cdots \cap \pi_{n}^{-1}[A_n] \subset W$, com $A_i \in \tau_i$.

Mas como $n$ é finito, $\pi_{i}^{-1}[A_i] \cap \cdots \cap \pi_{n}^{-1}[A_n] = B \in \mathcal B$. Portanto, $\mathcal B$ é base.