Temos que $\beta \cup \{ \beta \} $ é um ordinal(exercício 5) e que $\beta \cup \{ \beta \} \subset \gamma$ ( exercício 3). Da lei da tricotomia, ocorre um dos seguintes $3$ casos. O primeiro é $ \beta \cup \{ \beta \} \in \gamma$, que pode ser descartado, pois por hipótese $\gamma$ é o menor elemento que contém $\beta$. A segundo é $ \gamma \in \beta \cup \{ \beta \}$, mas então $\gamma \subset \beta \cup \{ \beta \}$, como $\beta \cup \{ \beta \} \subset \gamma$, então $ \gamma = \beta \cup \{ \beta \} $. E no ultimo caso $ \gamma = \beta \cup \{ \beta \}$.