Seja $A = \{a_n: n \in \omega\}$ um conjunto enumerável de $\omega_1$. Queremos mostrar que $A$ é limitado, isto é, que existe $\alpha \in \omega_1$ tal que $a_n \leq \alpha$, $\forall n \in \omega$. Suponha que não. Então para todo $\alpha \in \omega_1$ existe $n \in \omega$ tal que $\alpha \in [0,a_n[$. Dessa forma temos que $\bigcup\limits_{n \in \omega}[0,a_n[ = \omega_1$. Note que, para todo $n \in \omega$, $[0,a_n[ = \{a_m: m < n\}$ é enumerável, e como união enumerável de enumeráveis é enumerável, segue que $\bigcup\limits_{n \in \omega}[0,a_n[$ é enumerável, portanto $\omega_1$ também, o que é um absurdo. Logo, $A$ é limitado.