Suponha que existam finitos primos. Então $\bigcup_{p \text{ é primo}}S(0,p)$ é fechado pois união finita de fechados é fechada. Daí segue que $\mathbb{Z} \setminus \bigcup_{p \text{ é primo}}S(0,p) = \{-1, 1\}$ é aberto, o que é absurdo pois provamos anteriormente que conjuntos abertos são infinitos.