Olhemos para $A_{0}$. Existem $X_{0}, Y_{0} \subset A_{0}$, pois $A_{0}$ tem $\mathfrak c$ subconjuntos.

Pelo mesmo motivo, existem $X_{1}, Y_{1} \subset A_{1}$ tal que $X_{1} \neq Y_{0}$ e $Y_{1} \neq X_{0}$.

Analogamente, existem $X_{\beta}, Y_{\beta} \subset A_{\beta}$, tal que $X_{\beta} \neq Y_{n}$, para todo $n < \beta$ e $Y_{\beta} \neq X_{n}$ para todo $n < \beta$.