Precisamos ser cuidadosos para não usar o axioma da escolha sem querer querendo aqui. Tome $A \doteq \left( \bigcup X \right) \cup X $ (união). Considere $A^{<\omega}$. Considere:

\[ T \doteq \overbrace{ \{ \langle \rangle \} \cup \underbrace{ \{ \langle x \rangle \, : \, x \in X \} }_{\text{I começa jogando elementos de } X} \cup \{ \langle x,y,y,y,\ldots\rangle \upharpoonright n \, : \, y \in x \, \land \, n \in \omega \} }^{\text{axiomas da seleção/reunião}} \]

Observe que $[T]$ é discreto, logo qualquer alvo é clopen e portanto, se assumirmos $[GS]$ este jogo é determinado. Considere $(T,\emptyset)$, claramente II deve ter estratégia vencedora!

Considere $\rho$ uma estratégia de II neste jogo, note que para cada $\langle x \rangle $ jogada de I, $\rho$ deve saber responder univocamente com $\langle x,y \rangle $. Note que

\[ f_\rho \doteq \{ (x,y) \in A^2 \, : \, \langle x,y \rangle \in \rho \} \]

é uma função escolha de $X$.