Seja $\sigma$ uma estratégia vencedora para o jogador $II$. Considere $\mathscr{C}_n$ a cobertura que o jogador $I$ joga na $n$-ésima rodada de uma determinada partida. Seja $p \in \omega$ primo e considere a partida em que na rodada $n$ o jogador $I$ joga a cobertura $\mathscr{C}_{p^n}$. Observe que, como sigma é uma estratégia vencedora, então $C_p = \{\sigma(\mathscr{C}_{p}, \mathscr{C}_{p^2},\ldots,\mathscr{C}_{p^n}): n \in \omega \}$ é uma cobertura para $X$. Voltando a nossa partida inicial, suponha que na rodada $p^n$ o jogador $II$ jogue $\sigma(\mathscr{C}_{p}, \mathscr{C}_{p^2},\ldots,\mathscr{C}_{p^n})$. Seja $V_n$ a jogada de $II$ na $n$-ésima rodada. Sabemos que para todo $k \in \omega$ existe um primo $p > k$. Note que $C_p \subset \{V_n: n > k\}$, portanto $\bigcup_{n > k} V_n = X$.