Como uma sequẽncia é uma indexação de elementos de $X$ por números naturais, se $\{a_n : n \in \mathbb{N}\}$ for finito, então existe um elemento desse conjunto que se repete infinitamente na sequência. Nesse sentido, seja $x$ esse elemento. Assim, a subsequência de $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ formada apenas pelos elementos de valor $x$ é convergente para $x$.