Como $X$ é completo, é suficiente mostrar apenas que $\bar{A}$ é fechado e totalmente limitado. Sabemos, de fato, que o fecho de um conjunto é fechado. Resta-nos, assim, provar que $\bar{A}$ é totalmente limitado. Para isso, tomemos $\epsilon > 0$, de modo que construiremos um conjunto $F \subset \bar{A}$ finito tal que $\bar{A} \subset \bigcup_{x \in F}B_{\epsilon}(x)$. Como $A$ é totalmente limitado, existe $F' \subset A$ tal que $A \subset \bigcup_{x \in F'}B_{\frac{\epsilon}{2}}(x)$. Agora, seja $x'$ um ponto aderente qualquer de $A$. Sabemos assim que existe $x_0 \in B_{\frac{\epsilon}{2}}(x') \cap A$. Ou seja, $x_0 \in B_{\frac{\epsilon}{2}}(x')$ e $x_0 \in B_{\frac{\epsilon}{2}}(x)$ para algum $x \in F'$, de modo que $d(x',x) \leq d(x', x_0) + d(x_0, x) < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon$. Assim, $x' \in B_{\epsilon}(x)$. Ou seja, $\bar{A} \subset \bigcup_{x \in F'}B_{\epsilon}(x)$, de maneira que $F'$ é um conjunto finito que comprova a limitação total de $\bar{A}$.