Primeiramente, suponhamos $A \subset X$ compacto. Pelo resultado anterior, temos $A$ completo e totalmente limitado. Assim, como $A$ é subespaço completo, $A$ é fechado. Agora, suponhamos $A$ fechado e totalmente limitado. Como $X$ é completo, $A$ é completo. Assim, se $A$ é completo e totalmente limitado, $A$ é fechado, de acordo com o resultado anterior.