Suponha $X$ compacto.
Seja $\mathcal{C}$ uma cobertura aberta para $X$. Então, $\exists \mathcal{C'}$ subcobertura finita de $X$, isto é, $\exists \{X_1,X_2,\ldots,X_n\} \subset \mathcal{C} \ \vert \bigcup\limits_{i=1}^{n}X_n = X$. Se $\mathcal{C}$ é fechado por uniões finitas, então $\bigcup\limits_{i=1}^{n}X_n = X \in \mathcal{C}$

Suponha, agora, que toda subcobertura $\mathcal{C}$ fechada por uniões finitas é tal que $X \in \mathcal{C}$.
Suponha por contradição que $X$ não é compacto e tome $\mathcal{C}$ cobertura aberta que não admite subcobertura finita. Logo, $\mathcal{C}$ não é fechado por uniões finitas, pois caso fosse $\mathcal{C'} = \{X\} \subset \mathcal{C}$ e $\mathcal{C'}$ seria subcobertura finita.
Seja $\mathcal{F}:=\{\bigcup\limits_{i=1}^{n}X_n : X_i \in \mathcal{C}, \ n \in \mathbb{N}\}$, isto é, $\mathcal{F}$ é a família de todas as uniões finitas de abertos de $\mathcal{C}$. Logo, $\mathcal{F}$ é uma cobertura fechada por uniões finitas e portanto $X \in \mathcal{F}$.
Portanto, pela definição de $\mathcal{F}$, temos que $X \in \mathcal{F} \Rightarrow X=\bigcup\limits_{i=1}^{n}X_n$, para algum $\{X_1,X_2,\ldots,X_n\} \subset \mathcal{C}$, que é subcobertura finita de $\mathcal{C}$. Mas isso contradiz a hipótese de $\mathcal{C}$ não admitir subcobertura finita. Logo, $X$ é compacto.