Seja $X$ um espaço enumeravelmente compacto, queremos mostrar que $X$ é pseudocompacto.
Suponha que não, então existe $f : X \rightarrow \mathbb R$ função contínua, tal que $f[X]$ é ilimitado em $\mathbb R$. Sem perda de generalidade, vamos supor que $f[X]$ é ilimitado em $\mathbb R_{\ge 0}$, pois $f$ é ilimitada, se e somente se, a função $|f|$ também é ilimitada.
Para todo $n \in \omega$, considere o aberto $]n , \infty[$, como $f [X]$ é ilimitado em $\mathbb R$, existe $x_n \in X$, tal que $f(x_n) \in (n , \infty)$. Sem perda de generalidade, também podemos supor que $f(x_n) < f(x_{n+1})$ para todo $n \in \omega$, pois $f [X]$ é ilimitado em $\mathbb R$. Afirmamos que:

• O conjunto $\{f(x_n) : n \in \omega\}$ não possui pontos de acumulação: De fato, suponha que $\{f(x_n) : n \in \omega\}$ tem ponto de acumulação $a$. Então, tomando $\epsilon = 1$, existe $N \in \omega$ tal que para todo $n \ge N$, temos:

$$ a - 1 < f(x_n) < a + 1 \text{, } f(x_n) \neq a$$ Seja $x \in X$, tal que $f(x) \in f[X] \setminus [\{f(x_n): n \in \omega\}]$. Como $\{f(x_n) : n \in \omega\}$ é ilimitado em $\mathbb R_{\ge 0}$, existe $n \in \omega$, tal que $f(x) < f(x_n)$. Logo, para todo $n \ge N$, temos: $$ a - 1 < f(x_n) < a + 1 \text{, } f(x_n) \neq a$$ Defina $M = \text{max} \{|a| +1, f(x_n)\}_{n \le N}$. Note que $|f(x)| \le M$ para todo $x \in X$, portanto $f[X]$ é limitado em $\mathbb R$, o que é uma contradição, pois estamos supondo que $f[X]$ é ilimitado em $\mathbb R_{\ge 0}$. Como queríamos.
Note que $\mathcal U = \{f^{-1} [ (n , \infty) ] : n \in \omega\}$ é uma cobertura por abertos enumerável para $X$. Para todo $n \in \omega$, escolha $x_n \in X$, tal que $x_n \in f^{-1} [(n , \infty)]$. Afirmamos que:

• O conjunto $\{x_n : n \in \omega\}$ não possui pontos de acumulação De fato, suponha que $\{x_n : n \in \omega\}$ tenha $b$ um ponto de acumulação. Vamos mostrar que $f(b)$ é um ponto de acumulação de $\{f(x_n) : n \in \omega\}$. Seja $B$ uma vizinhança aberta de $f(b)$, como $f$ é uma função contínua temos que $f^{-1}[B]$ é uma vizinhança aberta de $b$. Como $b$ é um ponto de acumulação do conjunto $\{x_n : n \in \omega\}$ temos:

$$ (f^{-1}[B] \setminus \{b\}) \cap \{x_n : n \in \omega\} \neq \emptyset$$ então, $$ (f[f^{-1}[B]] \setminus \{f(b)\}) \cap \{f(x_n) : n \in \omega\} \neq \emptyset$$ se, e somente se $$ (B \setminus \{f(b)\}) \cap \{f(x_n) : n \in \omega\} \neq \emptyset$$ Portanto, $f(b)$ é um ponto de acumulação de $\{f(x_n) : n \in \omega\}$, por definição. O que contradiz a afirmação acima.
Note que, a afirmação anterior também gera uma contradição, pois como $X$ é enumeravelmente compacto todo subconjunto infinito de $X$ possui ponto de acumulação (pelo exercício ?).