Jogador 1 joga um nome para ordinal $\dot{\alpha}$ :

• Vamos criar então uma sequência decrescente $\{p_n : n \in \omega\}$ de elementos de $\mathbb P$, sendo que $p_n \leq P$ para todo $n \in \omega$ e junto disso, outra sequência de ordinais $\{\check{\beta}_n :n \in \omega\}$ tal que para todo $n \in \omega$, $p_n \Vdash \dot{\alpha}_n = \check{\beta}_n$.
• Por $\mathbb P$ ser enumeravelmente fechado a sequência possúi elemento minimal, portanto, existe $q \leq p_n$ para todo $n \in \omega$, portanto

$$q \Vdash \dot{\alpha}_n=\check{\beta}_n \forall n \in \omega$$

assim temos $q \Vdash \dot{\alpha}_n \in \beta_n$ como queríamos.