Seja \(U\) um aberto não vazio de \(X\). Então existe $A\in\mathcal{A}$ tal que $A\subset U$. Note que \(A \cap (\bigcup \mathcal A_{max}) \neq \emptyset\), ou \(\mathcal A_{max}\) não seria maximal. Segue que \(U \cap (\bigcup \mathcal A_{max}) \neq \emptyset\).