Como $X$ é compacto, vimos anteriormente que $X$ é completo. Resta-nos, assim, mostrar que $X$ é totalmente limitado. Para isso, tomemos $\epsilon > 0$ qualquer. Vale observar que $F = \{B_{\epsilon}(x) : x \in X\}$ é uma cobertura aberta sobre $X$. Assim, como $X$ é compacto, existe $F' \subset F$ subcobertura finita. Nesse sentido, o conjunto $A = \{x \in X : B_{\epsilon}(x) \in F'\}$ é finito e tal que $X \subset \bigcup_{x \in A} B_{\epsilon}(x)$, como queríamos.