Afirmo que se $(s, F) \in \mathbb P$, então $\omega \smallsetminus \bigcup F$ é infinito.
Com efeito, suponhamos o contrário, isto é, $\omega \smallsetminus \bigcup F$ é finito. Temos que $F \in [A]^{<\aleph_0}$, isto é, $F \subset A$ e $F$ é finito. Como $A$ é infinito, existe $G \in A$ tal que $G \notin F$. Seja $n=|F|$ e escrevemos $F=\{A_1,\ldots,A_n\}$. Logo $G \neq A_i \forall i \in \{1,\ldots,n\}$ e como $A$ é quase disjunta então $G \cap A_i$ é finito $\forall i \in \{1,\ldots,n\}$. Como $G \in A$, $G$ é infinito, então $G\smallsetminus(\omega \smallsetminus \bigcup F)$ também é infinito pois $\omega \smallsetminus \bigcup F$ é finito. Note que $$G\smallsetminus(\omega \smallsetminus \bigcup F) = G\cap \bigcup F = G\cap \bigcup_{i=1}^n A_i = \bigcup_{i=1}^n (G \cap A_i)$$ Portanto, $\bigcup_{i=1}^n (G \cap A_i)$ é infinito o que é absurdo.

Agora, dado $k \in \omega$ arbitrário. Vamos ver que $D_k$ é denso.
Seja $(s, F) \in \mathbb P$ qualquer, do que foi afirmado acima $\omega \smallsetminus \bigcup F$ é infinito e como $s$ é finito então $(\omega \smallsetminus \bigcup F)\smallsetminus s$ também é infinito. Seja $t_1 \in (\omega \smallsetminus \bigcup F)\smallsetminus s$ então $(\omega \smallsetminus \bigcup F)\smallsetminus (s \cup \{t_1\})$ também é infinito. Assim, podemos escolher recursivamente $t_j \in (\omega \smallsetminus \bigcup F)\smallsetminus (s \cup \{t_1,\ldots,t_{j-1}\})$ até obter o conjunto $T=\{t_1,\ldots,t_k\}$ com $k$ elementos diferentes nenhum dos quais pertence a $s$ nem a $\bigcup F$, isto implica que se $G \in F$ então $T \cap G = \emptyset$. Temos que $|s\cup T|=|s|+|T|=|s|+ k \geq k$, logo $(s \cup T, F) \in D_k$. Ademais:
* $s \subset s \cup T$
* $F \subset F$
* $\forall G \in F: ((s \cup T) \smallsetminus s) \cap G = T \cap G = \emptyset$
Então $(s \cup T, F)\leq (s , F)$ com $(s \cup T, F) \in D_k$.
Portanto, $D_k$ é denso.