Queremos mostrar que $\mathbb{R}$ admite uma compactificação $c\mathbb{R}$ tal que $c\mathbb{R} \setminus \mathbb{R}$ tenha exatamente dois pontos, ou seja, $c\mathbb{R} \setminus \mathbb{R}= \{- \infty, + \infty\}$.
Considere a topologia da ordem em $c\mathbb{R}$, onde min $c\mathbb{R} = - \infty$ e max $c\mathbb{R} = + \infty$.
Vamos mostrar inicialmente que $c\mathbb{R}$ é Hausdorff. Seja $x,y \in c\mathbb{R}$ com $x \neq y$

• Caso $x \neq \pm \infty$ e $y \neq \pm \infty :$ Então $x,y \in \mathbb{R}$, como $\mathbb{R}$ é Hausdorff, existem $A, B$ abertos (em $\mathbb{R}$) tais que $x \in A$, $y \in B$ e $A \cap B = \emptyset$.
  
• Caso $x = \pm \infty$ ou $y = \pm \infty :$ Sem perda de generalidade, suponha $x = +\infty$.
• Caso $x = \pm \infty$ e $y = \pm \infty :$ Sem perdas suponha que $x = -\infty$ e $y = +\infty$. Seja $\delta \in \mathbb{R}_{> 0}$. Defina $A = [-\infty , \delta)$ e $B = (\delta , +\infty]$, temos $x \in A$, $y \in B$ e $A \cap B = \emptyset$.

Seja $\mathcal U = \{U\}_{i \in I}$ uma cobertura por abertos de $c\mathbb{R}$, então existem $U_{j},U_{k} \in \mathcal U$ tais que $-\infty \in U_{j} $ e $+\infty \in U_{k} $. Sem perda de generalidade, podemos supor que $U_{j} \cap U_{k} = \emptyset$, pois $c\mathbb{R}$ é Hausdorff.
Note que $ K = c\mathbb{R} \setminus $ $(U_{j} \cup U_{k})$ é um subconjunto de $\mathbb{R}$ fechado e limitado (veja o exercício 5), portanto $K$ é compacto. Note também que $\mathcal{V} = \{U_{i}\cap \mathbb{R}\}_{i \in I}$,$_{i \neq k, i\neq j}$ é uma cobertura por abertos para $K$, logo existe $V_{1} = U_{1} \cap \mathbb{R}, \ldots,V_{n} = U_{n} \cap \mathbb{R} \in \mathcal{V}$ subcobertura finita para $K$.
Então $U_{j}, U_{k},V_{1}, \ldots,V_{n}$ é uma subcobertura finita para $c\mathbb{R}$, e portanto $c\mathbb{R}$ é compacto.