Provando a ida:

Se $A \subset \kappa$ é ilimitado, $A$ é cofinal em $\kappa$ pois, caso contrário, existiria $c \in \kappa$ tal que $c \leq a$ para todo $a \in A$, o que faria $A$ ser limitado inferiormente.

Como $A \subset \kappa$, $|A| \leq \kappa$. Vamos supor $|A| < \kappa$. Mas, se $A \subset \kappa$, $A$ é cofinal em $\kappa$ e $|A| < \kappa$, então $cf(\kappa)$ não pode ser $\kappa$. Logo, $|A| = \kappa$.

Provando a volta:

Vamos supor que $A$ é limitado. Então existe $d \in \kappa$ que limita $A$ superiormente. Consideremos o conjunto de todos os elementos de $\kappa$ menores que $d$. Note que esse conjunto contém $A$, logo, tem cardinhalidade maior ou igual a $\kappa$. Mas, como esse conjunto está contido em $\kappa$, tem cardinalidade menor ou igual que $\kappa$. Ou seja, esse conjunto tem tamanho $\kappa$, o que implica que há uma bijeção entre ele e $kappa$. Mas esse conjunto é um segmento inicial de $\kappa$, então isso é um absurdo. Logo, $A$ é ilimitado.