Vamos supor que não, então para todo $x \in X$ existe $A_x$ aberto tal que para toda cobertura $\mathcal C$ para $X$, $\sigma(\mathcal C) \neq A_x$.

Note que $\mathcal C =\{A_x\ : x \in X\}$ é uma cobertura (pois cada elemento $x \in X$ está pelo menos em $A_x$), porém, $\sigma(\mathcal C) = A_x$ para algum x, o que é uma contradição.

Logo,existe $x \in X$ tal que para qualquer $A$ aberto tal que $x \in A$ existe $\mathcal C$ cobertura para $X$ tal que $\sigma(\mathcal C) = A$.