Sejam $(a,b_1)$ e $(a,b_2) \in \varphi$. Vamos mostrar que $b_1 = b_2$. Sabemos que existem $f, g \in F$ tais que $(a,b_1) \in f$ e $(a,b_2) \in g$. Como $F$ é filtro, existe $h \supset f,g$, com $h \in F$. Portanto $(a,b_1), (a,b_2) \in h$, e como $h$ é função, segue que $b_1 = b_2$.

Seja $(a,b) \in \varphi$. Existe $f \in F$ tal que $(a,b) \in f$, portanto $a \in$ dom($f) \subset \omega$ e $b \in$ im($f) \subset \omega$. Ou seja, $\varphi$ é uma função de $\omega$ em $\omega$.