$(X,\tau)$ é um espaço topológico e $\mathcal{B} \subset \tau$.

$(\Longrightarrow)$

Seja $A \in \tau$, então $\exists B_x \in \mathcal{B} $ para cada $x \in A$ tal que $x \in B_x \subset A$. Logo $A = \bigcup_{x \in A}B_x$. Note que $\mathcal{B'} = \{ B_x : x \in B_x \subset A \land B_x \in \mathcal{B} \} \subset \mathcal{B}$

$(\Longleftarrow)$ Temos que mostrar que para qualquer $x \in A \in \tau$, $\exists B \in B $ tal que $x \in B \subset A$.

Sejam $x \in X$ e $A \in \tau$ tais que $x \in A$. Por hipótese, existe $\mathcal B' \subset \mathcal B$ tal que $A = \bigcup_{B \in \mathcal B'} B$. Então, existe $B \in \mathcal B'$ tal que $x \in B$. Note que $B \subset A$.