Como $X$ é um espaço de Baire, $A_0$ também o é. Assim, $\bigcap_{n\in\omega}A_n$ é denso em $A_0$. Em particular, existe $x\in X$ tal que $x\in \bigcap_{n\in\omega}A_n$. Construímos então a sequência desejada $(V_n:n\in\omega)$ da seguinte forma:

• Note que $x\in A_1$, portanto existe $t_0=(V_0)\in\mathcal A_1$ tal que $x\in\gamma(t_0)$;
• Note que $x\in A_2$, portanto existe $t_1\in\mathcal A_2$ tal que $x\in\gamma(t_1)$. Além disso, segue do exercício anterior que $t_1={t_0}^\smallfrown V_1$ para algum $V_1\in\mathcal B_{t_0}$;
• Note que $x\in A_3$, portanto existe $t_2\in\mathcal A_3$ tal que $x\in\gamma(t_2)$. Além disso, segue do exercício anterior que $t_2={t_1}^\smallfrown V_2$ para algum $V_2\in\mathcal B_{t_1}$;
• E assim por diante.

É fácil ver que a sequência $(V_n:n\in\omega)$ definida acima satisfaz as propriedades desejadas.