Para todo $b \in X$, temos:

$a.b \leq a. \sup_{x \in X} x$.

Se $a. \sup_{x \in X} x$ é maior que $a.b$ para todo $b \in X$, $a. \sup_{x \in X} x$ é um majorante do conjunto $\{ a.x : x \in X \}$, sendo, portanto, maior que o supremo desse conjunto. Logo:

$\sup_{x \in X} a.x \leq a. \sup_{x \in X} x$.

Além disso, para todo $b \in X$, temos:

$b \leq -a + (ab)$

Logo:

$\sup_{x \in X} x \leq \sup_{x \in X}(-a + ax) \leq \sup_{x \in X} -a + \sup_{x \in X} ax = -a + \sup_{x \in X} ax$

Multiplicando ambos os lados da desigualdade por $a$, temos:

$a\sup_{x \in X} b \leq a(-a + \sup_{x \in X} ax) = a\sup_{x \in X}ax = \sup_{x \in X} ax$

$a\sup_{x \in X} b \leq \sup_{x \in X} ax$

Como $\sup_{x \in X} a.x \leq a. \sup_{x \in X} x$ e $a\sup_{x \in X} b \leq \sup_{x \in X} ax$, $a\sup_{x \in X} b = \sup_{x \in X} ax$ $\blacksquare$.