Tome $X=\{0,1\}$ com a topologia $\tau = \{ \emptyset, \{0\}, \{0,1\} \}$.

Como $X$ só tem dois elementos e $\{0\}$ é um aberto que contém apenas $0$, conseguimos separar $0$ de $1$ e portanto $X$ é $T_0$.

Agora note que todo aberto que contém $1$, também contém $0$. Logo não conseguimos separar $1$ de $0$ e portanto tal espaço não é $T_1$.

O espaço que utilizamos acima apesar de parecer inofensivo, tem propriedades topológicas suficientes para receber um nome: Espaço de Sierpinski. Você pode aprender mais sobre ele em http://en.wikipedia.org/wiki/Sierpi%C5%84ski_space