Fixe $m\geq0$ e para cada $j>0$ defina $f_j(n)=t_{m,j}(n)$ e construa $f^m\in^{\omega}\omega$ como: $f^m(0)=0$ e para $n>0$ $f^m(n)=\sum_{j=1}^{n}f^j(n)+1$. Defina $\tilde{s}(p)=\sum_{x+y=p}f^y(x)$ e $s(p)=max\{\tilde{s}(a)+1:a\leq p\}$.