Para estender $f$, devemos definir $f(a_{n+1})$. Visando preservar a ordem dos elementos de $\{a_0,a_1,a_2,a_3,\dots,a_{n+1}\}$, devemos considerar os seguintes casos:

1 $a_{n+1}$ é o maior elemento de $\{a_0,a_1,a_2,a_3,\dots,a_{n+1}\}$ com respeito a ordem desse conjunto (lembre-se que $Y$ não admite maior elemento).

2 $a_{n+1}$ é o menor elemento de $\{a_0,a_1,a_2,a_3,\dots,a_{n+1}\}$ com respeito a ordem desse conjunto (lembre-se que $Y$ não admite menor elemento).

3 Existem $a_i$ e $a_j$ tais que $a_i < a_{n+1} < a_j$ (lembre-se que $Y$ admite ordem densa).