Considere $f: \mathbb R \to \mathbb R$ e $g: \mathbb R \to \mathbb R$ tais que, para todo $x \in \mathbb R$, $f(x) \leq g(x)$. Suponha que dado $a \in \mathbb R$, temos que $\lim\limits_{x \to a} f(x)$ e $\lim\limits_{x \to a} g(x)$ existam.
Mostre que $\lim\limits_{x \to a} f(x) \leq \lim\limits_{x \to a} g(x)$.
Troque alguns itens por $+\infty$ (por exemplo, $a$ ou o valor de algum dos limites). Quais afirmações como a original continuam valendo?
No enunciado original, se exigirmos $f(x) < g(x)$ para todo $x \in \mathbb R$, podemos concluir que $\lim\limits_{x \to a} f(x) < \lim\limits_{x \to a} g(x)$?