Vamos mostrar que a definição anterior é de fato uma topologia.
 
a)Para tanto precisamos garantir que $X, \varnothing \in \tau $.

Como $\varnothing \subset \mathbb{R}, \varnothing$ é aberto.

Agora tomamos $A$ como sendo $A = \mathbb{R}\cup {a}$, ou seja, $A = X$ então $X \smallsetminus A = \varnothing$, como vazio é enumerável temos $X \in \tau$.

b)Queremos mostrar que $A \cap B$ é aberto, com $A,B$ abertos. Vamos separar em casos:

1º caso: $A,B \subset \mathbb{R}$, como $A \cap B \subset \mathbb{R}$ então $A \cap B$ é aberto.

2º caso: $a \in A$ e $a \in B$, como $\mathbb{R} \smallsetminus A$ é enumerável, assim como $\mathbb{R} \smallsetminus B$, sabemos que $\mathbb{R} \smallsetminus (A \cap B) = (\mathbb{R} \smallsetminus A) \cup (\mathbb{R} \smallsetminus B)$ e sabemos que união com enumerável é enumerável, e portanto $A \cap B$ é aberto.

3º caso: $a \in A$ e $B \subset \mathbb{R}$, como $a \notin B$ temos $A\cap B \subset \mathbb{R}$. 

c)Seja $\mathcal{A}$ família de conjuntos, precisamos mostrar que $\underset{A \in \mathcal{A}}{\bigcup A}$ é aberto, vamos separar em dois casos:

1º caso: $a \notin \underset{A \in \mathcal{A}}{\bigcup A}$, note que a união está sempre contida em $\mathbb{R}$ e pela definição de aberto, temos o que queríamos.

2º caso: $a \in \underset{A \in \mathcal{A}}{\bigcup A}$, então $\exists A$ tal que $a \in A$, sabemos que $X \smallsetminus A$ é enumerável, note que $ (X \smallsetminus A) \supset (X \smallsetminus \underset{B \in \mathcal{A}}{\bigcup B})$ e como união de enumerável é enumerável, temos o que queríamos.